Limit, Kecil Tak Berhingga, Turunan dan Integral

Pada artikel sebelumnya kita sudah membahas tentang sejarah kalkulus dan pengaruhnya dalam perkembangan ilmu pengetahuan modern. Kali ini kita akan membahas tentang prinsip-prinsip apa saja yang dibahas oleh kalkulus ini. Kalau kita lihat buku-buku kalkulus maka kita dapat ambil kesimpulan bahwa pada kalkulus ini kita akan membahas tentang limit, kecil tak berhingga, turunan dan integral.

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga. Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

Turunan atau derivatif

Untuk memahami dan memudahkan penjelasan tentang konsep turunan, maka terlebih dahulu dapat kita lihat atau perhatika gambar berikut ini.

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik.

Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi.

Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.

Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di mana fungsi tersebut berubah.

Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik.Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f′(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x² pada titik (3,9):

Integral

Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan. Integral taktentu adalah anti turunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F. Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x.

Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu yaitu: Jarak = Kecepatan X waktu

Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.

Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b. Jika f(x) pada diagram di atas mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmen, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol.

Simbol dari integral adalah

yaitu berupa huruf S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral tertentu ditulis sebagai:

dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x.", Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:

Oleh karena turunan dari fungsi y = x² + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),