Minor, Kofaktor, Matrik Kofaktor dan Adjoin Matrik

Setelah kita memahami cara mencari determinan dan transpose sebuah matriks maka selanjutnya kita akan mencari nilai minor, kofaktor, matrik kofaktor dan adjoin dari sebuah matrik. Hal ini perlu kita pahami karena nantinya akan kita gunakan untuk mencari nilai invers dari sebuah matrik.

A. Minor

Minor, Kofaktor, Matrik Kofaktor dan Adjoin Matrik

Untuk mencari nilai kofaktor terlebih dahulu kita harus mencari nilai minor dari setiap elemen matrik. Untuk memudahkan, selanjutnya minor kita beri simbol dengan huruf M dan minor untuk setiap elemen matrik akan kita beri simbol dengan Mij dimana i adalah letak baris dan j adalah letak kolom dari setiap elemen matrik.

contoh:

diketahui matrik A sebagai berikut:

maka minor elemen 2 yang terletak pada baris ke 1 kolom ke 1 diberi simbol dengan M11. Untuk mencari harga minornya dapat kita lakukan dengan mencoret atau menghilangkan baris ke 1 dan kolom ke 1 sehingga didapatkan matrik baru seperti berikut:

jadi minor elemen 2 (M11) adalah :

Serupa dengan cara di atas , minor elemen 3 (M12) adalah :

Untuk nilai M13, M21, M22, M23, M31, M32 dan M33 didapatkan hasil sebagai berikut:

B. Kofaktor

Setelah mendapatkan harga minor dari masing-masing elemen matriks kita dapat menentukan nilai atau harga dari kofaktor. Cara mencarinya adalah dengan mengalikan masing-masing nilai minor di atas dengan tanda tempat masing-masing elemen. Adapun tanda tempatnya dapat dilihat pada gambar berikut:

Jadi berdasarkan tanda tempat di atas kita dapat mencari nilai kofakto dari masing-masing elemen matriks. Untuk selanjutnya kita akan berikan simbol untuk nilai kofaktor masing-masing elemen dengan Cij, dimana i menandakan baris dan j menandakan kolom. jadi untuk setiap elemen di atas kita dapatkan harga kofaktornya sebagai berikut:

C. Matrik Kofaktor

Setelah kita mendapatkan harga atau nilai kofaktor dari masing-masing elemen matrik di atas, maka kita sekarang akan menyusun setiap nilai kofator tersebut sesuai dengan alamat tempatnya masing-masing. Susunan masing-masing elemen dari nilai kofaktor ini akan menghasilkan sebuah matrik baru yang kita namakan dengan matrik kofaktor. Untuk selanjutnya matrik kofaktor akan kita beri simbol dengan huruf C. Jadi matrik kofaktor (C) dari matrik di atas adalah:

D. Adjoin Matrik Bujur Sangkar

Jika kita sudah mendapatkan matrik kofaktor (C) maka kita sudah bisa mendapatkan adjoin dari matrik tersebut. adjoin matrik bujur sangkar sama nilainya dengan transpose dari matrik kofaktor, jadi dengan mencari transpose dari matrik kofaktor kita sudah mendapatkan nilai adjoin matrik. Transpose dari matrik C adalah :

Maka matrik transpose dari matrik kofaktor dinamakan dengan matrik adjoin dari matrik A.

Jadi untuk memperoleh adjoin dari suatu matrik bujur sangkar A kita harus

- Membentuk matrik kofaktor C

- Menuliskan transpose dari matrik C yaitu C^T