Sistem Persamaan Linear (SPL)

Persamaan linear sering dipakai dalam proses analisis, desain dan sintesis dari sistem perekayasaan. Bentuk yang paling sederhana dari sistem persamaan linear adalah :
Sistem Persamaan Linear (SPL)            a.x = b
dimana a dan b adalah bilangan yang diketahui nilainya, sedangkan x adalah bilangan yang tidak diketahui dan harus dicari nilainya.

Contoh : relasi antara resistansi dan tegangan listrik : I X R =  V
Untuk sistem linear yang mempunyai dua persamaan dan dua variable yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :
                        a11x1 + a12x2 = b1
                        a21x1 + a22x2 = b2
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk :
  a 1x  + a2 y = b
Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dalam peubah (variable) c dan peubah y.
Secara umum persamaan linear dalam n peubah  x1, x2,………..xn didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + x2 x2 + ….+ an xn    = b
dengan   a1, a2, a3,……………..an     dan b merupakan konstanta bilangan riil
contoh : manakah yang termasuk persamaan linear dari persamaan persamaan berikut ini :
  • a.       X + 3y  = 7
  • b.      X + 3 y2 = 7
  • c.       3x + 2y  - z + xz  = 4
  • d.      Y = ½ x  + 3z + 1
  • e.       Y – sin x = 0
  • f.         + 2x2 ++ x3 =1
Jawab:
Persamaan a dan d termasuk persamaan linear
Persamaan b bukan persamaan linear sebab terdapat variable berpangkat 2
Persamaan c bukan persamaan linear  karema melibatkan perkalian peubah
Persamaan e bukan perssaan linear karena terdapat bentuk sinus yang termasuk fungsi trigonometri
Persamaan f bukan persamaan linear karena melibatkan akar peubah
B. sistem Persamaan Linear
Sebuah himpunan berhingga dari persaan persamaan linear adalah peubah x1, x2, x3……..xn dinamakan system persamaan linear atau system linear
Contoh :

4x1 – x2 + 3x3 =-1
3x1 + x2 + 9x3 = -4
X1 2x2 -3x3 =3

 X – y =2
X + 2y = 5

Pemecahan suatu system persamaan linear adalah ukuran dari n bilangan s1, s2,…..sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubtitusikan terhadap persamaan – persamaan dalam system linear tersebut. Himpunan semua pemecahan system persamaan linear disebut himpunan pemecahan sistem persamaan linear.

Contoh: tentukanlah solusi system persamaan linear berikut:

X -2y = 8
3x +y = 3

x1 +2x2 –x3 =3
2x1 –x2 +3x3 = -4
3x1 +x2 + x3 = 1

Jawab:
a.       X -2y = 8
3x +y = 3
Untuk memecahkan SPL  tersebut kita gunakan cara eliminasi maupun cara subtitusi. Berikut ini akan digunakan cara eliminasi :

Jadi himpunan penyelesaian/pemecahannya adalah HP = {(2, -3)}
X1    +  2x2  –   x3  = 3……………………………………     i
2x1  –  x2     + 3x3 = -4…………………………………..       ii
3x1  +  x2       +   x3  = 1…………………………………… iii
Untuk memecahkan SPL  terdebut digunakan cara eleminasi dari persamaan (1) dan (2) :


Untuk  x3 = -2    :       5x2 –5x3  =  10
                                   5x2 –5(-2)  =  10
                                     5x2  + 10   =  10
                                       X2           = 0
Untuk x2   = 0  dan  X3  = -2  , maka dari persamaan I didapat:
X1 +2x2 –x3 =3
X1 = 3 - 2x2 + x3
X1 = 3 – 2(0) + (-2)
X1 = 1
Jadi himppunan pemecahannya adalah : X1 = 1,              X2      = 0,               X3  = -2
  
       Sistem persamaan linear 
      Suatu sistem persamaan linear mempunyai tiga kemungkinan solusi, yaitu:
1.      Sistem persamaan linear tidak mempunyai pemecahan
2.      Sistem persamaan linear mempunyai tak  hingga pemecahan
3.      Sistem persamaan linear mempunyai tepat satu pemecahan
Sistem persamaan linear yang tidak mempunyai pemecahan dikatakan tidak konsisten atau inkonsisten
Sedangkan SPL yang mempunyai minimal satu pemecahan dinamakan konsisten.
Sebagai ilustrasi kita ambil  SPL  sebagai berikut:
a 1x  +  b1y = c1
a 2x  +  b2y = c2
kedua persamaan tersebut berupa garis lurusyang jika digambarkan  ada terdapat 3 kemungkinan 
yaitu:
a.       Garis l1 // l2 sehingga tidak ada perpotongan garis atau tidak ada titik yang dapat memenuhi kedua persamaan tersebut. Berarti system tidak mempunyai pemecahan
b.      Garis l1 berpotongan dengan garis l2   di satu titik gerarti system mempunayai tepat satu pemmecahan
c.       garis   l1  berimpit  l2  , sehingga terdapat tak hingga banyaknya pemecahan yang memenuhi kedua persamaan. Berarti system mempunyai tak hingga banyak pemecahan
contoh: bila manakah system:             a 1x  +  b1y = c1
a 2x  +  b2y = c2
mempunyai satu pemecahan , tak hinga banyak pemecahan dan tak punya pemecahan? Berikan  contohnya
jawab:system persamaan linear berbentuk :
a 1x  +  b1y = c1                                                                   
a 2x  +  b2y = c2
a.       mempunyai satu pemecahan bila :   a 1/ a 2   ≠  b1 / b2   (disebut konsisten)

contoh:    2 x + 3 y  = 8
                x  –  2 y   = -3
a.       mempunyai tak hingga banyak pemecahan bila : a1 /a2  =  b1/b2 =c1/c2
contoh:
-x +2y  =-3
3x -6y =9
Persamaan 3x -6y =9 jika kita bagi dengan -3 maka akan diperoleh -x +2y  =-3 yang tidak lain merupakan persamaaan yang pertama. Dan  pada gambar  ditunjukan bahwa kedua garis ini berimpit sehingga solusi SPL  tersebut adalah HP = (-~ , ~)    £ riil

a.       tidak mempunyai pemecahan jika : a1 /a2  =  b1/b2  ≠ c1/c2

contoh: 2x – 3y = -6
            4x – 6y   = 12

Gambar
Dari gambar ditunjukkan bahwa kedua garis tersebut sejajar artinya tidak ada satupun titik yang dapat memenuhi pertidak samaan tersebut. Jadi solusi SPL tersebut HP: (   )

Subscribe to receive free email updates:

1 Response to "Sistem Persamaan Linear (SPL)"

  1. Saya tertarik dengan judul dan tulisan anda, Saya juga mempunyai tulisan yang sejenis mengenai Komputasi Matematika yang bisa anda kunjungi di Informasi Komputasi Matematika

    ReplyDelete